Umberto Cibien: matematica pura

In omaggio a Umberto Cibien – Parte prima.

Umberto era il mio amico fraterno.

In queste pagine ho cercato di raccogliere qualche suo contributo nel campo della matematica.

Forse non tutti sanno che Umberto aveva una naturale predisposizione per le scienze matematiche che, sin da quando eravamo ragazzini, da quando frequentavamo l’ ITIS di Belluno, condividevamo nelle nostre lunghe conversazioni che spaziavano a volo libero nello scibile umano.

In queste pagine vorrei mettere a disposizione alcuni ricordi inerenti gli studi di matematica di Umberto:

Qui troverete una serie di articoli  dedicata ad uno degli argomenti più affascinanti delle matematiche pure: la teoria degli insiemi infiniti, dovuta principalmente a Georg Cantor. Sarà un percorso lungo, e all’inizio forse noioso.

Parleremo di insiemi, corrispondenze, relazioni  di equivalenza in modo semplice ed intuitivo, fino ad arrivare a dimostrare che gli insiemi infiniti non sono tutti ugualmente numerosi, ma esisto vari livelli (ordini) di infinito.

Gli articoli sono alla portata di tutti (o quasi); ho cercato di usare  il minimo formalismo .

La trattazione introduttiva è minima, ed è quella che serve per arrivare al risultato finale. Non è mia presunzione tenere delle lezioni di matematica pura, ma solo divulgare un argomento forse poco noto, che chi vuole potrà approfondire.

L’obiettivo è anche quello di rendere più simpatica la tanto odiata matematica che a volte ci è stata propinata come un ammasso informe di tecniche di calcolo senza alcun riferimento storico-culturale. In realtà la matematica è fantasia e intuizione. Il percorso che porta a un risultato non è mai lineare: ci sono intuizioni, errori, aggiustamenti, risultati intermedi. Vedremo cosa si inventa Cantor per dimostrare che i numeri razionali (le frazioni) sono tanti quanti i numeri naturali (0,1,2,3,4,5,…), fra l’altro restando sorpreso egli stesso del risultato.

La teoria degli insiemi infiniti di Cantor

  1. Parte prima: Gli insiemi
  2. Parte seconda: corrispondenze e funzioni
  3. Parte terza:gli insiemi numerabili
  4. Parte quarta: l’albergo di Cantor
  5. Parte quinta: l’induzione matematica
  6. Parte sesta: il minimo ordine di infinito aleph zero
  7. Parte settima: le diagonali di Cantor
  8. Parte ottava: l’insieme delle parti e il teorema di Cantor
  9. Parte nona: la continuità dei numeri reali
  10. Parte decima: conseguenze della continuità di R
  11. Parte undicesima: la potenza del continuo.
  12. Parte dodicesima: il teorema di Bernstein
  13. Parte tredicesima: la polvere di Cantor
  14. Parte quattordicesima: la cardinalità di R e dell’insieme delle parti
  15. Parte quindicesima: l’assioma della scelta
  16. Parte sedicesima: il Lemma di Zorn 1/3
  17. Parte sedicesima: il Lemma di Zorn 2/3
  18. Parte sedicesima: il Lemma di Zorn 3/3
  19. Parte diciassettesima: Il teorema di Zermelo
  20. Parte diciottesima: la curva di Peano-Hilbert
  21. Parte diciannovesima: l’insieme di Vitali

Altri articoli collegati agli infiniti di Cantor

  1. La scala del Diavolo
  2. CANTOR E I NUMERI TRASCENDENTI. PARTE PRIMA.
  3. CANTOR E I NUMERI TRASCENDENTI. PARTE SECONDA.

Omaggio a Umberto Cibien – Parte seconda.

(Topologia)

  1. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 1°: GLI SPAZI METRICI
  2. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 2°:Gli spazi topologici
  3. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 3°: GLI OMEOMORFISMI
  4. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 4°:SPAZI CONNESSI
  5. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 5°:COMPONENTI CONNESSE
  6. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 6°:LA TOPOLOGIA QUOZIENTE
  7. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 7°:UN TEOREMA NECESSARIO
  8. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 8°: IL CILINDRO E IL NASTRO
  9. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 9°: IL TORO .
  10. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 10°LA SFERA
  11. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 11°:LA SUPERFICIE DI KLEIN .
  12. MATEMATIZZIAMO IL NASTRO DI MÖBIUS ,PARTE 12°IL PIANO PROIETTIVO

Omaggio a Umberto Cibien – Parte terza

Le Matematiche pure

  1.  Parte prima:relazioni e classi di equivalenza
  2. Parte seconda:la definizione di numero cardinale
  3. Parte terza: I gruppi della matematica moderna
  4. Parte quarta:altri esempi di gruppi
  5. Parte quinta: I gruppi liberi 1/2
  6. Parte quinta: I gruppi liberi 2/2
  7. Parte sesta:i campi algebrici
  8. Parte settima: Il campo dei numeri complessi 1/2
  9. Parte settima: Il campo dei numeri complessi 2/2
  10. Parte ottava: i punti impropri della geometria proiettiva
  11. Parte nona: il gruppo delle curve ellittiche 1/2
  12. Parte nona: il gruppo delle curve ellittiche 2/2

Omaggio a Umberto Cibien – Parte quarta

(Miscellanea matematica)

MISCELLANEA MATEMATICA 2
Il numero di Nepero è irrazionale. 3
Primo passo: dimostriamo per prima cosa che la successione: 3
Secondo passo: la successione degli è compresa fra 2 e 3: 6
La funzione esponenziale 8
Irrazionalità di e 9
Il numero di Nepero è trascendente. Parte prima 11
La funzione Gamma di eulero. 12
Il numero di Nepero è trascendente. Parte seconda 14
Il numero di Nepero è trascendente. Parte terza. 17
Premessa 17
Esempio 18
Il numero di Nepero è trascendente. Parte quarta. 22
Ricapitoliamo 22
La dimostrazione continua. 22
Il numero di Nepero è trascendente. Parte quinta 25
Un’altro risultato importante 26
Esempio: 26
Un piccolo richiamo sulle classi di resti modulo z. (3) 27
Finiamo la dimostrazione riassumendo. 27
Ed eccoci al gran finale. 29
Un progetto ambizioso 31
Le omotopie e la semplice connessione. 32
L’OMOTOPIA 33
IL GRUPPO FONDAMENTALE 34
Perchè costruire i gruppi fondamentali di un insieme topologico? 37
Due esempi molto significativi. 37
La connessione semplice 38
L’enunciato della congettura di Poincaré. 42
Parliamo di superfici 42
La somma connessa di superfici. 43
La classificazione delle varietà 44
Conseguenze del teorema di classificazione delle superfici. 46
Congettura di Poincarè: 47
Le trivarietà. 47
Premessa 47
Le possibili “forme” del’universo. 48
Le varietà topologiche. 51
Il toro come possibile mondo bidimensionale 53
La tri-varietà di Herbert Seifert e C. Weber 55
I compatti dello spazio Euclideo 57
Ricoprimento aperto di uno spazio topologico 57
Sottoricoprimento finito di U 57
Definizione di spazio compatto 57
Insiemi aperti negli spazi metrici. 58

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